 |
 |
ISSN печатной версии 1683-3414 • ISSN он-лайн версии 1814-0807 | |
 |
 |
 |
 |
 |
Войти | ||
КонтактыАдрес: Россия, 362025, Владикавказ,
|
Уважаемые авторы, просим обратить внимание! Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции. DOI: 10.46698/u2067-6110-4876-g Уточненные спектральные свойства задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в прямоугольной области
Войтицкий В. И. , Прудкий А. С.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 1.С.20-32.
Аннотация:
В одномерных краевых спектральных задачах размерности собственных подпространств не превосходят некоторого известного числа (как правило 1 или 2). В многомерных самосопряженных задачах с дискретным спектром, несмотря на конечную размерность всех собственных подпространств последовательность кратностей может быть неограничена. Это верно даже для классических краевых задач, решающихся методом разделения переменных. В случае задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в прямоугольной области \(\Omega=(0;a)\times(0;b)\) хорошо известна явная формула \(\lambda_{km} = \big(\frac{\pi k}{a}\big)^2 + \big(\frac{\pi m}{b}\big)^2\) для описания всех собственных значений (индексы \(k, m\) принимают положительные или неотрицательные значения соответственно для задачи Дирихле или Неймана). Исследование кратностей сводится к подсчету числа различных упорядоченных пар \((k, m)\), соответствующих одному и тому же числу \(\lambda_{km}\). На основе классических и новых результатов теории чисел и теории диофантовых приближений в работе изучаются вопросы взаимного расположения, кратностей и асимптотики собственных значений \(\lambda_{km}\) в зависимости от параметров \(a\) и \(b\). В случае квадратной области (\(a=b\)) описан явный алгоритм подсчета кратности любого собственного значения, основанный на разложении натурального числа на простые сомножители и подсчете числа сомножителей вида \(4k+1\). Для прямоугольной области установлена зависимость распределения кратностей от того, являются ли числа \(f:=a/b\) и \(f^2\) рациональными или нет. В случае \(f, f^2 \not\in \mathbb{Q}\) доказано, что все собственные значения однократные, но на сколь угодно близком расстоянии располагается бесконечно много пар собственных значений. На основе уточненной оценки остатка в проблеме круга Гаусса установлена асимптотическая формула Вейля с двумя первыми членами и квалифицированной оценкой остатка.
Ключевые слова: дискретный спектр, кратности собственных значений, простые числа, диофантовы приближения, степенная асимптотика, проблема круга Гаусса
Язык статьи: Русский
Загрузить полный текст
 Образец цитирования: Войтицкий В. И., Прудкий А. С. Уточненные спектральные свойства задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в прямоугольной области // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, вып. 1. C.20-32. DOI 10.46698/u2067-6110-4876-g ← Содержание выпуска |
|
| |
 |
||
| © 1999-2024 Южный математический институт | |||