Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/p7919-5616-0187-g
Теоремы существования и единственности для дифференциального уравнения с разрывной правой частью
Магомед-Касумов М. Г.
Владикавказский математический журнал. 2022. Том 24. Выпуск 1.С.54-64.
Аннотация: Рассмотрены новые условия существования и единственности решения Каратеодори задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с разрывной правой частью. Применяемый в статье метод основан на: 1) представлении решения в виде ряда Фурье по системе функций, ортогональной относительно скалярного произведения типа Соболева и порожденной классической ортогональной системой; 2) использовании специальный образом сконструированного оператора \(A\), действующего в пространстве \(l_2\), неподвижной точкой которого являются коэффициенты Фурье решения. При выполнении условий, рассматриваемых в данной статье, оператор \(A\) будет сжимающим. Это свойство может быть использовано для конструирования устойчивых, быстрых и легко реализуемых спектральных численных методов решения задачи Коши с разрывной правой частью. Изучена также взаимосвязь новых условий с хорошо известными классическими условиями (условия Каратеодори вместе с условием Липшица) существования и единственности решения Каратеодори задачи Коши с разрывной правой частью. А именно, показано, что если в классических условиях заменить пространство суммируемых функций \(L^1\) на пространство суммируемых с квадратом функций \(L^2\), то они станут эквивалентными условиям, приведенным в данной статье.
Ключевые слова: задача Коши, разрывная правая часть, ортогональная в смысле Соболева система, теорема существования и единственности, решение Каратеодори
Образец цитирования: Magomed-Kasumov, M. G. Existence and Uniqueness Theorems for a Differential Equation with a Discontinuous Right-Hand Side //
Владикавк. мат. журн. 2022. Т. 24, №1. C. 54-64 (in English). DOI 10.46698/p7919-5616-0187-g
1. Filippov, A. F. Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Side,
Matematicheskii Sbornik. Novaya Seriya, 1960, vol. 51 (93), no. 1, pp. 99-128 (in
Russian).
2. Filippov, A. F. Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides,
Dordrecht, The Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 1988.
3. Krasovskij, N. N. Game-Theoretic Problems of Capture, Moscow, Nauka,
1970 (in Russian).
4. Krasovskij, N. N. and Subbotin, A. I. Positional Differential Games,
Moscow, Nauka, 1974 (in Russian).
5. Hermes, H. Discontinuous Vector Fields and Feedback Control, Differential
Equations and Dynamical Systems, New York, Academic Press, 1967.
6. Cid, J. N. and Pouso, R. L. Ordinary Differential Equations and Systems with
Time-Dependent Discontinuity Sets, Proceedings of the Royal Society of
Edinburgh: Section a Mathematics, 2004, vol. 134, no. 4, pp. 617-637.
DOI: 10.1017/S0308210500003383.
7. Hajek, O. Discontinuous Differential Equations, I, Journal of Differential
Equations, 1979, vol. 32, no. 2, pp. 149-170. DOI: 10.1016/0022-0396(79)90056-1.
8. Cortes, J. Discontinuous Dynamical Systems, IEEE Control Systems Magazine,
2008, vol. 28, no. 3, pp. 36-73. DOI: 10.1109/MCS.2008.919306.
9. Ceragioli, F. Discontinuous Ordinary Differential Equations and Stabilization,
PhD thesis, Universita di Firenze, 2000.
10. Sansone, G. Equazioni Differenziali Nel Campo Reale, vol. 2, Consiglio nazionale consiglio
nazionale delle ricerche. Monografie di matematic applicata, Nicola
Zanichelli, 1949.
11. Sharapudinov, I. I. On the Existence and Uniqueness of Solutions of ODEs with
Discontinuous Right-Hand Sides and Sobolev Orthogonal Systems of Functions,
Daghestan Electronic Mathematical Reports, 2018, vol. 9, pp. 68-75 (in Russian).
DOI: 10.31029/demr.9.8.
12. Sharapudinov, I. I. Sobolev-Orthogonal
Systems of Functions and the Cauchy Problem for ODEs, Izvestiya:
Mathematics, 2019, vol. 83, no. 2, pp. 391-412.
DOI: 10.1070/im8742.
13. Sharapudinov, I. I. Sobolev Orthogonal Polynomials Associated
with Chebyshev Polynomials of the First Kind and the Cauchy Problem for
Ordinary Differential Equations, Differential Equations, 2018, vol. 54,
no. 12, pp. 1602-1619. DOI: 10.1134/S0012266118120078.
14. Sharapudinov, I. I. Approximation of the Solution of the Cauchy Problem
for Nonlinear ODE Systems by Means of Fourier Series in Functions Orthogonal in the Sense of {Sobolev,
Daghestan Electronic Mathematical Reports, 2017, vol. 7, pp. 66-76 (in Russian).
DOI: 10.31029/demr.7.8.
15. Stein, E. and Shakarchi, R. Real Analysis: Measure Theory, Integration,
and Hilbert Spaces, Princeton University Press, 2009.
16. Walter, W. Ordinary Differential Equations, Graduate Texts in Mathematics,
New York, Springer, 1998.
17. Sharapudinov, I. I. Sobolev-Orthogonal Systems of Functions and Some
of their Applications, Russian Mathematical Surveys, 2019, vol. 74, no. 4, pp. 659-733.
DOI: 10.1070/rm9846.
18. Sharapudinov, I. I. Sobolev-Orthogonal Systems of Functions Associated
with an Orthogonal System, Izv. Math., 2018, vol. 82, no. 1, pp. 212-244. DOI: 10.1070/IM8536.
19. Sharapudinov, I. I. Approximation Properties of Fourier Series of Sobolev
Orthogonal Polynomials with Jacobi Weight and Discrete Masses,
Mathematical Notes, 2017, vol. 101, no. 3, pp. 718-734.
DOI: 10.1134/S0001434617030300.
20. Sharapudinov, I. I. Sobolev Orthogonal Polynomials Generated by Jacobi and
Legendre Polynomials, and Special Series with the Sticking Property for their
Partial Sums, Sbornik: Mathematics, 2018, vol. 209, no. 9, pp. 1390-1417.
DOI: 10.1070/sm8910.
