Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/u2193-3754-6534-u
Линеаризованная двумерная обратная задача определения ядра уравнения вязкоупругости
Тотиева Ж. Д.
Владикавказский математический журнал. 2021. Том 23. Выпуск 2.С.87-103.
Аннотация: Представлена линеаризованная обратная задача определения двумерного ядра для системы уравнений линейной динамической вязкоупругости с сосредоточенным источником возмущений на свободной поверхности. Искомой величиной в поставленной задаче является ядро интегрального оператора, моделирующего явление памяти, которое имеет место при распространении волновых процессов в вязкоупругих средах. Прямая начально-краевая задача для вектор-функции смещения содержит нулевые начальные данные и граничное условие Неймана на дневной поверхности специального вида. Для линеаризации искомое ядро разлагается на две составляющие, одна из которых малая по абсолютной величине неизвестная добавка. В качестве дополнительной информации задается отклик линеаризованного поля смещений точек среды на свободной поверхности. В предположении, что коэффициенты системы зависят от одной пространственной переменной, прямая задача сводится к начально-краевой задаче для одного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа второго порядка. Доказывается, что поставленная линеаризованная задача определения сверточного ядра эквивалента некоторой системе линейных интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода. К последней применяется обобщенный принцип сжатых отображений. Доказаны теоремы глобальной однозначной разрешимости в пространстве непрерывных функций и устойчивости решения обратной задачи. Приводится теорема о сходимости регуляризованного семейства задач к решению исходной (некорректной) задачи.
Образец цитирования: Тотиева Ж. Д. Линеаризованная двумерная обратная
задача определения ядра уравнения вязкоупругости // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, вып. 2. С.87-103. DOI 10.46698/u2193-3754-6534-u
1. Туаева Ж. Д. Многомерная математическая модель сейсмики с памятью // Исслед. по диф. ур-ям и мат. моделированию. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008. C. 294-303.
2. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.
3. Lorenzi A., Sinestrari E. An inverse problem in the theory of materials with memory // Nonlinear Anal. TMA. 1988. Vol. 12, № 12. P. 1317-1335. DOI: 10.1016/0362-546X(88)90080-6.
4. Lorenzi А. An inverse problem in the theory of materials with memory II // J. Semigroup Theory and Applications. Ser. Pure and Appl. Math. 1989. Vol. 116. P. 261-290.
5. Дурдиев Д. K. Обратная задача для трехмерного волнового уравнения в среде с памятью // Мат. анализ и дискретная математика. Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1989. C. 19-27.
6. Lorenzi A., Paparoni E. Direct and inverse problems in the theory of materials
with memory // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1992. Vol. 87. P. 105-138.
7. Bukhgeym A. L. Inverse problems of memory reconstruction // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 1993. Vol. 1, № 3. P. 193-205. DOI: 10.1515/jiip.1993.1.3.193.
8. Дурдиев Д. К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. 574-582.
9. Bukhgeim A. L., Dyatlov G. V. Inverse problems for equations with memory // SIAM J. Math. Fool. 1998. Vol. 1, № 2. P. 1-17.
10. Дурдиев Д. К. Обратные задачи для сред с последействием. Ташкент: Турон-Икбол, 2014.
11. Lorenzi A., Ulekova J. Sh., Yakhno V. G. An inverse problem in viscoelasticity // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 1994. Vol. 2, № 2. P. 131-164. DOI: doi.org/10.1515/jiip.1994.2.2.131.
12. Janno J., Von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity // Math. Methods in Appl. Sciences. 1997. Vol. 20, № 4. P. 291-314. DOI: 10.1002/(SICI)1099-1476(19970310)20:4<291::AID-MMA860>3.0.CO;2-W.
13. Janno J., Von Wolfersdorf L. An inverse problem for identification
of a time- and space-dependent memory kernel in viscoelasticity // Inverse Problems. 2001. Vol. 17, № 1. P. 13-24. DOI: 10.1088/0266-5611/17/1/302.
14. Lorenzi A., Messina F., Romanov V. G. Recovering a Lame kernel in a viscoelastic system // Applicable Analysis. 2007. Vol. 86, № 11. P. 1375-1395. DOI: 10.1080/00036810701675183.
15. Romanov V. G., Yamamoto M. Recovering a Lame kernel in a viscoelastic equation by a single boundary measurement // Applicable Analysis. 2010. Vol. 89, № 3. P. 377-390. DOI: 10.1080/00036810903518975.
16. Lorenzi A., Romanov V. G. Recovering two Lame kernels in a viscoelastic system // Inverse Probl. Imaging. 2011. Vol. 5, № 2. P. 431-464. DOI: 10.3934/ipi.2011.5.431.
17. Романов В. Г. Двумерная обратная задача для уравнения вязкоупругости // Сиб. мат. журн. 2012. T. 53, № 6. C. 1401-1412.
18. Romanov V. G. Inverse problems for differential equations with memory // Eurasian J. of Mathematical and Computer Applications. 2014. Vol. 2, № 4. P. 51-80.
19. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения электровязкоупругости // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 3. С. 553-572. DOI: 10.17377/smzh.2017.58.307.
20. Дурдиев Д. К., Рахмонов А. А. Обратная задача для системы интегро-дифференциальных уравнений SH-волн в вязкоупругой пористой среде: глобальная разрешимость // Теор. и мат. физика. 2018. T. 195, № 3. C. 491-506. DOI: 10.4213/tmf9480.
21. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении многомерного ядра уравнения вязкоупругости // Владикавк. мат. журн. 2015. T. 17, № 4. С. 18-43. DOI: 10.23671/VNC.2015.4.5969.
22. Карчевский А. Л., Фатьянов А. Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды // Сиб. журн. вычисл. матем. 2001. Т. 4, № 3. С. 259-268.
23. Дурдиев У. Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды от временной частоты // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 179-189. DOI: 10.33048/semi.2020.17.013.
24. Bozorov Z. R. Numerical determining a memory function of a
horizontally-stratified elastic medium with aftereffect // Eurasian J. of Mathematical and Computer Applications. 2020. Vol. 8, № 2. P. 4-16.
25. Kabanikhin S. I., Karchevsky A. L., Lorenzi A. Lavrent’ev regularization of
solutions to linear integro-differential inverse problems // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 1993. Vol. 1, № 2. P. 115-140. DOI: 10.1515/jiip.1993.1.3.193.
26. Дурдиев Д. К., Бозоров З. Р. Задача определения ядра интегро-дифференциального волнового уравнения со слабо горизонтальной однородностью // Дальневост. мат. журн. 2013. Т. 13, № 2. C. 209-221.
27. Тотиева Ж. Д. Определение ядра уравнения вязкоупругости в слабо горизонтально-неоднородной среде // Сиб. мат. журн. 2020. Т. 61, № 2. С. 453-475. DOI: 10.33048/smzh.2020.61.217.
28. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости // Сиб. журн. индустр. матем. 2013. Т. 16, № 2. С. 72-82.
