Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/s8185-4696-7282-p
Решения системы Карлемана через разложение Пенлеве
Духновский С. А.
Владикавказский математический журнал. 2020. Том 22. Выпуск 4.С.58-67.
Аннотация: Рассматривается одномерная дискретная кинетическая система уравнений Карлемана. Система Карлемана является кинетическим уравнением Больцмана и для нее не сохраняется импульс и энергия. Данная система описывает одноатомный разреженный газ, состоящий из двух групп частиц. Данные группы частиц двигаются вдоль прямой, в противоположных направлениях с единичной скоростью. Взаимодействие частиц происходит внутри одной группы, т. е. сами с собой, меняя направление движения. В последнее время особое внимание уделяется построению точных решений неинтегрируемых уравнений в частных производных с использованием усеченного ряда Пенлеве. Применяя разложение Пенлеве к неинтегрируемым уравнениям в частных производных, получают условия в резонансе, которые должны выполняться. Решение системы ищется с помощью усеченного разложения Пенлеве. Данная система не удовлетворяет тесту Пенлеве. Это приводит к некоторым ограничениям на многообразие особенностей, одним из которых является двумерное уравнение Бейтмена. Зная неявное решение уравнения Бейтмена, можно найти новые частные решения самой системы Карлемана. Также отдельно решение строится с помощью анзаца масштабирования, которое позволяет свести задачу к нахождению решений соответствующего уравнения Риккати.
Ключевые слова: система уравнений в частных производных Карлемана, разложение Пенлеве, уравнение Бейтмена
Образец цитирования: Духновский С. А. Решения системы Карлемана через разложение Пенлеве // Владикавк. мат. журн. 2020. Т. 22, вып. 4. С. 58-67.
DOI 10.46698/s8185-4696-7282-p
1. Линдблом О., Эйлер Н. Решение уравнений Больцмана для дискретных скоростей при помощи уравнений Бейтмена
и Риккати // Теорет. и мат. физика. 2002. Т. 131, № 2. С. 522-526. DOI: 10.4213/tmf322.
2. Годунов С. К., Султангазин У. М. О дискретных моделях кинетического уравнения
Больцмана // Успехи мат. наук. 1971. Т. 26, № 3(159). С. 3-51.
3. Радкевич Е. В. О поведении на больших временах решений задачи Коши для двумерного
дискретного кинетического уравнения // Соврем. математика. Фундам. направления. 2013. Т. 47. С. 108-139.
4. Духновский C. А. О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения
Карлемана с периодическими начальными данными // Вест. Сам. гос. техн. ун-та.
Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 1. С. 7-41. DOI: 10.14498/vsgtu1529.
5. Духновский C. А. Об асимптотической устойчивости состояний равновесия для систем уравнений
Карлемана и Годунова Султангазина // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2019. Т. 74, № 6. С. 55-57.
6. Васильева О. А., Духновский C. А., Радкевич Е. В.
О природе локального равновесия уравнений Карлемана и Годунова Султангазина // Соврем.
математика. Фундам. направления. 2016. Т. 60. С. 23-81.
7. Cabannes H., Dang Hong Tiem. Exact Solutions for some Discrete Models of the Boltzmann Equation //
Complex Systems. 1987. Vol. 1, № 4. P. 575-584.
8. Cornille H. Exact \((2+1)\)-dimensional solutions for two discrete velocity Boltzmann models
with four independent densities // J. Phys. A: Math. Gen. 1987. Vol. 20, № 16. P. 1063-1067.
DOI: 10.1088/0305-4470/20/16/005.
9. Cornille H. Exact \((1+1)\)-dimensional solutions of discrete planar velocity Boltzmann models //
J. Stat. Phys. 1987. Vol. 48. С. 789-811. DOI: 10.1007/BF01019697.
10. Ильин О. В. Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы
Карлемана // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, № 12. С. 2076-2087.
11. Ильин О. В. Стационарные решения кинетической модели Бродуэлла //
Теорет. и мат. физика. 2012. Т. 170, № 3. С. 481-488. DOI: 10.4213/tmf6780.
12. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.:
Изд-во иностр. лит-ры, 1960. 120 с.
13. Platkowski Т., Illner R. Discrete velocity models of the Boltzmann equation: a survey
on the mathematical aspects of the theory // SIAM Review. 1988. Vol. 30, № 2. P. 213-255. DOI: 10.1137/1030045.
14. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит., 2001. 107 с.
15. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial diferential equation //
J. Math. Phys. 1983. Vol. 24, № 3. P. 522-526. DOI: 10.1063/1.525721.
16. Euler N., Lindblom O., Euler M. and Persson L.-E.
The Higher dimensional Bateman equation and Painleve analysis of nonintegrablee
wave equations // Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. 1997. Vol. 1. P. 185-192.
