Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/h8083-6917-3687-w
Неравенство Бернштейна - Никольского в весовых пространствах Лебега
Банг Х. З. , Зуй В. Н.
Владикавказский математический журнал. 2020. Том 22. Выпуск 3.С.18-29.
Аннотация: В работе устанавливаются результаты, касающиеся неравенства Бернштейна - Никольского в весовых пространствах Лебега. Основной результат содержится в следующем утверждении. Пусть \(1 < u, p < \infty\), \(0<q+ 1/p<v +1/u<1,\) \(v-q\geq 0\), \(\kappa >0\), \(f \in L^u_v(\mathbb R)\) и \(\mathrm{supp}\widehat{f} \subset [-\kappa, \kappa]\). Тогда \(D^mf \in L^p_q(\mathbb R), \mathrm{{supp}}\widehat{D^m f}=\mathrm{supp}\widehat{f}\) и существует такая постоянная \(C\), независящая от \(f\), \(m\) и \(\kappa\), что \( \|D^mf\|_{L^p_{q}} \leq C m^{-\varrho} \kappa^{m+\varrho} \|f\|_{ L^u_v}\) для всех \(m = 1,2,\dots \), где \(\varrho=v + \frac{1}{u} -\frac{1}{p} - q>0\) и весовое пространство Лебега \(L^p_q\) состоит из всех измеримых функций, для которых \(\|f\|_{L^p_q} = \Big(\int_{\mathbb R} |f(x)|^p |x|^{pq}\,dx\Big)^{1/p}< \infty.\) Более того, \( \lim_{m\to \infty}\|D^mf\|_{L^p_{q}}^{1/m}= \sup \{|x|:\, x \in \mathrm{{supp}}\widehat{f}\}.\) Главным достижением нашего результата является то, что в правой части неравенства содержится множитель \(m^{-\varrho}\) (\(\varrho>0\)), который ранее никогда не появлялся в аналогичных исследованиях других авторов. Соответствующий результат получен также для \(n\)-мерного случая.
Ключевые слова: весовые пространства Лебега, неравенство Бернштейна, неравенство Никольского
Образец цитирования: Bang, H. H. and Huy, V. N. A Bernstein--Nikol'skii Inequality for Weighted Lebesgue Spaces // Владикавк. мат. журн. 2020. Т. 22,
№ 3. С. 18-29 (in English).
DOI 10.46698/h8083-6917-3687-w
1. Bernstein, S. N. Sur l'Ordre de la Meilleure Approximation des Functions Continues
par les Polyomes de Degre Donne, Extrait des Memoires de l'Academie royale de Belgque, ser. 2, vol. 4, Bruxelles, Hayez, 1912, 103 p.
2. DeVore, R. and Lorentz, G. G. Constructive Approximation, Springer-Verlag, Berlin,
1993.
3. Nikol'skii, S. M. Approximation of Functions of Several Variables and Imbedding Theorems, Grundl. Math. Wissensch, vol. 205, Berlin, Springer-Verlag, 1975. DOI: 10.1007/978-3-642-65711-5.
4. Nikol'skii, S. M. Inequalities for Entire Functions of Finite Degree and their Application to the Theory of Differentiable Functions of Several Variables, Trudy Matematicheskogo Instituta imeni V.A. Steklova [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], vol. 38, Moscow, Acad. Sci. USSR, 1951, pp. 244-278 (in Russian).
5. Frappier, C. and Rahman, Q. I. On an Inequality of S. Bernstein , Canadian Journal of Mathematics, 1982, vol. 34, pp. 932-944. DOI: 10.4153/CJM-1982-066-7.
6. Ganzburg, M. I. Sharp constants in V. A. Markov-Bernstein
Type Inequalities Of Different Metrics, Journal of Approximation Theory, 2017, vol. 215, pp. 92-105. DOI: 10.1016/j.jat.2016.11.007.
7. Ganzburg, M. I. Sharp Constants of Approximation Theory. I. Multivariate Bernstein-Nikolskii Type Inequalities, Journal of Fourier Analysis and Applications, 2020, vol. 26, article 11. DOI: 10.1007/s00041-019-09720-x.
8. Ganzburg, M. I. and Tikhonov, S. Yu. On Sharp Constants in Bernstein-Nikolskii Inequalities, Constructive Approximation, 2017, vol. 45, pp. 449-466. DOI: 10.1007/s00365-016-9363-1.
9. Platonov, S. S. Bessel Harmonic Analysis and the Approximation of Functions on a Half-Line, Izvestiya: Mathematics, 2007, vol. 71, no. 5, pp. 1001-1048.
10. Rahman, Q. I. and Schmeisser, G. \(L^p\) Inequalities for Entire Functions of Exponential Type, Transactions of the American Mathematical Society, 1990, vol. 320, pp. 91-103. DOI: 10.1090/S0002-9947-1990-0974526-4.
11. Rahman, Q. I. and Tariq, Q. M. On Bernstein's Inequality for Entire Functions of Exponential Type, Computational Methods and Function Theory, 2007, vol. 7, pp. 167-184. DOI: 10.1007/BF03321639.
12. Nessel, R. J. and Wilmes, G. Nikol'skii-Type Inequalities in Connection with Regular Spectral Measures, Acta Mathematica, 1979, vol. 33, pp. 169-182.
13. Nessel, R. J. and Wilmes, G. Nikol'skii-Type Inequalities for Trigonometric Polynomials and
Entire Functions of Exponential Type, Journal of the Australian Mathematical Society, 1978, vol. 25, pp. 7-18. DOI: 10.1017/S1446788700038878.
14. Nikol'skii, S. M. Some Inequalities for Entire Functions of Finite Degree and their Application, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1951, vol. 76, pp. 785-788 (in Russian).
15. Triebel, H. General Function Spaces, II: Inequalities of Plancherel-Polya Nikolskii-type, \(L^p\)-Space of Analytic Functions: \(0 < p\leq \infty\),
Journal of Approximation Theory, 1977, vol. 19, pp. 154-175. DOI: 10.1016/0021-9045(77)90038-7.
16. Triebel, H. Theory of Function Spaces, Basel, Boston, Stuttgart, Birkhauser, 1983.
17. Bang, H. H. and Huy, V. N. New Results Concerning
the Bernstein-Nikol'skii Inequality, Advances in Mathematics Reseach, 2011, vol. 16, pp. 177-191.
18. Bang, H. H. A Property of Infinitely Differentiable Functions,
Proceedings of the American Mathematical Society, 1990, vol. 108, pp. 73-76. DOI:
10.1090/S0002-9939-1990-1024259-9.
19. Kerman, R. A. Convolution Theorems with Weights, Transactions of the American Mathematical Society, 1983, vol. 280, no. 1, pp. 207-219. DOI: 10.1090/S0002-9947-1983-0712256-0.
20. Vladimirov, V. S. Methods of the Theory of Generalized Functions, Taylor & Francis,
London, New York, 2002.
