Конечные регулярные гиперболические плоскости и нильпотентные группы с 8 образующими

Долгарев А. И.
Владикавказский математический журнал. 2011. Том 13. Выпуск 2.

Аннотация:
Регулярные конечные гиперболические плоскости получены с использованием нильпотентных групп ступени 2 простого периода, удовлетворяющие дополнительным условиям. Группе в виде таблицы связей сопоставлен латинский квадрат, который позволяет в тривиальную регулярную гиперболическую \(\langle 2,5\rangle\)-плоскость \(\nabla(7)\) ввести отношение эквивалентности на множестве ее прямых (выделить параллельные прямые). Тривиальная плоскость \(\nabla (7)\) моделируется 7-угольником, его вершины есть точки плоскости, стороны и диагонали - прямые плоскости; прямая есть множество двух точек; для каждой пары \((P,l)\), \(P\not\in l\), через точку \(P\) проходит две прямые, пересекающие прямую \(l\) и \(5\) прямых, не пересекающих \(l\), см. [1, c. 45, 46]. Затем используется процесс проективизации плоскости, аналогичный получению проективной плоскости из аффинной. Построены четыре неизоморфные \(\langle 3,4\rangle\)-плоскости. Число неизоморфных \(\langle 3,4\rangle\)-плоскостей не меньше числа неизоморфных нильпотентных групп ступени 2 простого периода с 8 образующими элементами. Неизоморфные \(\langle 3,4\rangle\)-плоскости получены впервые. Для некоторых точек и прямых рассматриваемых плоскостей выполняется конфигурация Дезарга, но в общем плоскости недезарговы. Перспективные отображения плоскости не являются ее коллинеациями. Результаты работы сообщены на XIV международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" в 2005 году, [2]. Нильпотентные группы ступени 2 простого периода с 8 образующими описаны в [3].

Ключевые слова: неизоморфные конечные регулярные гиперболические плоскости, недезарговы плоскости

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст