Периодические и ограниченные решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка

Ахмедов Д. Т. , Мухамадиев Э. М. , Нуров И. Д.
Владикавказский математический журнал. 2022. Том 24. Выпуск 2.С.35-50.

Аннотация:
В работе исследуются вопросы о существовании периодических или ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка вида \(y''+g(y,y')=f(t,y,y').\) Здесь функция \(g (y,z)\) - непрерывная и положительно однородная первого порядка, а \(f(t,y,z)\) - непрерывная функция, определенная при всех значениях \(t\), \(y\), \(z\) и удовлетворяющая условию малости по отношению \(|y|+|z|\) на бесконечности. Для данного уравнения вопросы существования априорной оценки, периодических решений вслучае периодической по \(t\) функции \(f(t,y,z)\), и ограниченных решений в случае лишь ограниченности по\(t\) функции \(f(t,y,z)\), тесно связаны с качественным поведением решения однородного уравнения \(y''+g(y,y')=0.\) Поэтому, на первом этапе представляется важным исследование характера поведения траектории эквивалентной однородному уравнению системы. Перейдя к полярным координатам, получим формулы представления решения системы, которые позволяют описать полную классификацию всевозможных фазовых портретов решения системы в терминах свойства функции \(g(y,y')\). В частности, получены условия отсутствия ненулевых периодических или ограниченных на всей оси решений. Задача существования периодических решений исходного уравнения эквивалентна существованию решений интегрального уравнения в пространстве \(C[0,T]\)-непрерывных на отрезке \([0,T]\) функций. В свою очередь, интегральное уравнение порождает вполне непрерывное векторное поле в пространстве \(C[0,T]\), нули которого определяют решение интегрального уравнения. Получены формулы для вычисления вращения векторного поля на сферах достаточно большого радиуса пространства \(C[0,T]\). На основе полученных результатов найдены условия существования периодических и ограниченных решений неоднородного уравнения. Отметим, что полученные результаты доведены до расчетных формул.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, периодическое и ограниченное решение, однородное уравнение, гомотопия, вполне непрерывные векторные поля, фазовые портреты.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы